分辨率的三種判據(jù)

物鏡分辨率是指物鏡分辨兩個(gè)緊密相鄰特征的能力，理論上常用兩個(gè)可分辨的點(diǎn)光源之間的最小距離表示。點(diǎn)光源的圖像由于衍射不是一個(gè)亮點(diǎn)，而是一個(gè)延伸的光強(qiáng)輪廓。這種輪廓叫艾里斑，包含一個(gè)中心亮斑和一系列強(qiáng)度顯著減弱的明暗交替同心環(huán)。因此，兩個(gè)點(diǎn)光源的圖像是兩個(gè)有所重疊的艾里斑，而物鏡分辨率取決于兩者之間的最小可分辨距離。




雖然怎樣才能判定兩個(gè)艾里斑是可分辨的沒(méi)有基本的標(biāo)準(zhǔn)，但實(shí)際應(yīng)用中仍有一些可供參考的判據(jù)。在顯微鏡成像中，常用的兩個(gè)判據(jù)是瑞利判據(jù)和阿貝判據(jù)。第三個(gè)是天文學(xué)常用的斯帕羅(Carrol Mason Sparrow)判據(jù)。




瑞利判據(jù)




瑞利判據(jù)指出，當(dāng)一個(gè)艾里斑的第一個(gè)強(qiáng)度極小值剛好和另一個(gè)艾里斑的極大值重合時(shí)，這兩個(gè)艾里斑是可被分辨的。以中心極大值為圓心，第一個(gè)強(qiáng)度極小值位于半徑為1.22λf/D的圓環(huán)上，其中λ是光波長(zhǎng)，f是物鏡焦距，而D是入瞳直徑。
如果以數(shù)值孔徑(NA)表示，瑞利分辨率為：
r(R) = 1.22λf/D = 0.61λ/NA
左下圖展示了間距等于瑞利分辨率的兩個(gè)理想艾里斑(假設(shè)照明光源為非相干光源)，而右下圖是對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)曲線。通過(guò)兩條垂直的虛線可看出，每個(gè)艾里斑的極大值剛好和相鄰艾里斑的極小值重合。而且，兩個(gè)極大值之間還有一個(gè)局部極小值，清晰地出現(xiàn)在兩個(gè)白色光斑之間的灰色區(qū)域。



阿貝判據(jù)




在阿貝理論中，成像是一個(gè)雙重衍射過(guò)程。在這個(gè)理論框架中，為了分辨相距為d的兩個(gè)特征，要求是零級(jí)和一級(jí)衍射都能通過(guò)物鏡。因?yàn)橐患?jí)衍射的角度為sinθ? = λ/d，所以?xún)蓚€(gè)特征的最小間距(物鏡分辨率)為d = λ/(n·sinα)，其中α是物鏡的孔徑半角，而n是成像介質(zhì)的折射率。

上述結(jié)果是實(shí)際分辨率極限的2倍，因?yàn)樗僭O(shè)兩個(gè)一級(jí)衍射都要通過(guò)物鏡，但實(shí)際上只需要通過(guò)一個(gè)一級(jí)衍射和零級(jí)衍射。將上述結(jié)果除以2并代入NA的表達(dá)式可得出著名的阿貝分辨率：

r(A) = 0.5λ/NA

左下圖展示了間距等于阿貝分辨率的兩個(gè)理想艾里斑，而右下圖是對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)曲線。相比瑞利分辨率，原點(diǎn)處的極小值更難分辨很多，因?yàn)樗槐葍蓚€(gè)強(qiáng)度極大值低2%左右。



斯帕羅判據(jù)




對(duì)于瑞利和阿貝分辨率，兩個(gè)點(diǎn)光源的合成強(qiáng)度輪廓有一個(gè)極小值，位于兩個(gè)極大值中間的原點(diǎn)處。從某種意義上講，這正是兩個(gè)點(diǎn)光源得以分辨的原因。如果間距進(jìn)一步減小，直至小于阿貝分辨率極限，這兩個(gè)單獨(dú)的極大值就將融合成一個(gè)中心極大值而無(wú)法分辨。因此，斯帕羅分辨率判據(jù)指出，當(dāng)中心從極小值過(guò)渡到極大值時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)光源的間距達(dá)到可分辨極限。

在斯帕羅分辨率極限位置，合成強(qiáng)度輪廓的中心是平坦的，說(shuō)明強(qiáng)度對(duì)位置的導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處為零。但這不能判斷原點(diǎn)處的強(qiáng)度是極大值還是極小值。由于斯帕羅分辨率極限發(fā)生在原點(diǎn)強(qiáng)度從局部極小值過(guò)渡為極大值的時(shí)候，因此二次導(dǎo)數(shù)的符號(hào)必須從正變?yōu)樨?fù)。

因此，斯帕羅判據(jù)是基于二階導(dǎo)數(shù)的。當(dāng)原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，分辨率達(dá)到極限。將此條件應(yīng)用于兩個(gè)艾里斑的合成強(qiáng)度輪廓，可得到斯帕羅分辨率：

r(S) = 0.47λ/NA

左下圖展示了間距等于斯帕羅分辨率的兩個(gè)艾里斑，而右下圖是對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)曲線，其原點(diǎn)處沒(méi)有強(qiáng)度凹陷。